Мне как будто бы помнится, что министра избирает совет магов (Визгамот?), но сам совет что-то вроде палаты лордов, то есть состоит из наиболее уважаемых и известных волшебников, но как они туда кооптируются, остается неясным. Например, Дамблдор одно время числился председателем, потом в процессе развития сюжета его то ли попросили, то ли сам ушел.